勾股定理证明小论文（专业14篇）

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勾股定理证明

怎么证明勾股定理

勾股定理证明小论文[模版]

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）。

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等（边长都是），所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。

二、赵爽弦图的证法（图2）。

第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直。

角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）。

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

勾股定理的小论文

自“科教兴国”战略实施多年以来，我国的教育体制已逐渐从应试教育向素质教育转变。然而，这种转变的有效性仍值得检验。素质教育的本质就是以培养、激发学生的创新思维为目的，以特色的教学模式为手段，调动学生的积极思维欲望，不拘一格地带动学生对知识敢想、多想，以达到学生更深层次地理解所学知识，使其真正转变为自己的知识，并能在以后的学习、生活中加以利用。就数学而言，数学课堂教学研究一直是国内外教育改革的焦点之一，课堂被认为是学生构建知识，老师组织学习最重要的.现实环境，它被喻为“人世间最复杂的实验室之一”。作为一名初中数学教育工作者，如何能在课堂中带动学生的听课积极性，使学生对我们所教内容产生浓厚的兴趣，而不认为是教条式的填鸭，显得至关重要。勾股定理是中国几何的根源，是中华数学的精髓。在此，作者以初中二年级数学课程“勾股定理”作为课程实践案例，进行了一次简单尝试。

笔者改变了以往“勾股定理”教学中照书念的本本模式，而是不惜用去10分钟时间给学生讲讲勾股定理的起源。在引领学生将书翻到勾股定理章节后，告诉学生，大家书本上看到的这位毕达哥拉斯，是公元前四百多年前发现了直角三角形的三边关系，而最早有关该定理的文字著作出自我国商朝约公元前200年左右的《周髀算经》，由商高发现。并在三国时代由赵爽对其做出详细注释，又给出了另外一个证明引，我们的祖先是不是也很智慧呢?此时，全班几乎所有学生目光都从书本移开，极为专注地看着笔者，眼神中带着强烈的求知欲望。笔者转而引导学生开始上课，每个孩子都带着浓厚的兴趣想要学好我们祖先发现的伟大定理。

通过带领学生从看图18.1-2中快速计算正方形abc、a’b’c’面积，并展开猜想，引出“勾股定理”的命题。随后，将学生分组，一组4人，给每组分发下去4个全等的直角三角形纸板，短直角边标有a(勾)字样，长直角边和斜边分别标有b(股)及c(弦)。让每一位同学都在仔细观察“赵爽弦图”的同时，用纸板摆出“赵爽弦图”，使学生对赵爽的证明过程有一个初步形象的直观认识，然后给学生做出赵爽对“勾股定理”的详细推导。学生们在小组参与弦图旋转、摆放的过程中，个个乐此不疲，相互提醒。虽然，教室中看似多了点吵闹，但笔者发现，在学生眼、手、口并用的实际操作中，勾股定理的学习少了许多课本填鸭式的枯燥，换之而来的是学生们积极的参与、激烈的讨论和更为浓厚的兴趣。

在定理证出后，笔者立即向学生提问：谁能给出快速说出更多的均以整数为边的勾股数的方法?底下同学开始议论，一位同学的回答引得全班哄堂大笑，上网!笔者也忍俊不禁，告诉他很会利用现代高科技工具，算是一项能力，但不是独立解决该问题的最佳办法。此时，已有学生说出6、8、10，9、12、15等等。笔者微笑点头肯定，整数勾股数三遍等量放大比例同样也是勾股数，三边不可约分的整数勾股数是以质数为最短边，并且只有一组以其为最短边的勾股数。至于原因，不过该内容已超纲，有兴趣的同学可以课下研究、探讨。

重点内容“勾股定理”授课完毕，继而启发学生对“勾股定理”的实际应用。学生通过做门框、湖水等实际应用题对勾股定理的实用性有了更加现实的认识，也有了数学建模的简单概念。邻近下课时，给学生布置了家庭作业，让学生用一个礼拜的时间观察生活中有关勾股定理应用的现实例子，并加以简单介绍。之后腾出一节课给学生自由发挥，介绍自己对勾股定理的实践观察，学生们积极上台发言，表达欲望强烈，在其他同学获取知识的同时，讲述的同学也在大家肯定的掌声中增强了自信心，课外拓展取得了很好的效果。

固定不变的是已有的知识，持续发展进步的是我们的思维。初中学生正处在一个思维活跃的阶段，在初中数学课堂基本理论的教学中，适时带入一些生动灵活的素材，如讲述所教内容的历史小故事，团体讨论、课外拓展等，培养起学生自动自发的学习意识，积极思考的求知欲望和举一反三的实践能力，会使我们的教学质量得到较大幅度的提高，培养出更多的勤思考、爱动脑和成绩好的优秀学子。

勾股定理的证明方法

1、用验证法发现直角三角形中存在的边的关系。

(二)能力训练点。

观察和分析直角三角形中，两边的变化对第三边的影响，总结出直角三角形各边的基本关系。

(三)德育渗透点。

培养学生掌握由特殊到一般的化归思想，从具体到抽象的思维方法，以及化归的思想，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃;又从一般到特殊，从抽象到具体，应用到实践中去。

二、教学重点、难点及解决办法。

1、重点：发现并证明勾股定理。

2、难点：图形面积的转化。

3、突出重点，突破难点的办法：《几何画板》辅助教学。

三、教学手段：

利用计算机辅助面积转化的探求。

四、课时安排：

本课题安排1课时。

五、教学设想：

六、教学过程(略)。

勾股定理的证明方法

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。

2

刘徽在证明勾股定理时，也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”后人根据这段文字补了一张图。大意是：三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方(a2)的i移至i′，青方的ii移至ii′，iii移至iii′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(c的平方).由此便可证得a的`平方+b的平方=c的平方。这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年(即公元263年)，刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。

3

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

利用相似三角形的证法。

利用相似三角形证明。

设abc为一直角三角形,直角于角c(看附图).从点c画上三角形的高，并将此高与ab的交叉点称之为h。此新三角形ach和原本的三角形abc相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有a这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形cbh和三角形abc也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

因为bc=a,ac=b,ab=c。

所以a/c=hb/aandb/c=ah/b。

可以写成a*a=c*hbandb*b=c*ah。

换句话说:a*a+b*b=c*c。

[*]----为乘号。

勾股定理的证明方法

本节课主要通过勾股定理的证明探索，使学生进一步理解和掌握勾股定理。通过利用质疑、拼图观察、思考、猜想、推理论证这一过程，培养学生探求未知数学知识的能力和方法，培养学生求异思维能力、认知能力、观察能力和独立实践能力。学生独立或分组进行拼图实验，教师组织学生在实验过程中发现的有价值的实验结果进行交流和展示。本节课的过程由激趣、质疑、实验、求异、探索、交流、延伸组成。

本节课的成功之处：

1、创设情景，实例导入，激发学生的学习热情。

2、由于实现了教师角色的转变，教法的创新，师生的平等，气氛的活跃，学生积极参加。

3、面向全体学生，以人为本的教育理念落实到位。整节课都是学生自主实验、自主探索，自主完成由形到数的转化。学生勇于上讲台展示研究成果，教师只是起到组织、引导作用。

4、通过学生动手实验，上台发言，展示成果，体验了成功的喜悦。学生的自信心得到培养，个性得到张扬。通过当场展示，让学生体会到动手实践在解决数学问题中的重要性，同时也让学生体会到用面积来验证公式的直观性、普遍性。

5、学生的研究成果极大地丰富了学生对勾股定理的证明的认识，学生从中获得利用已知的知识探求数学知识的能力和方法。这对学生今后的学习和将来的发展是大有裨益的。同时验证勾股定理的证明的探究，使学生形成一种等积代换的思想，为今后的学习奠定基础。

本节课的不足之处及改进思路：

1、小部分能力基础和能力都比较差的学生在探索过程中无所事事，因此教师应该在课前对不同层次的学生提出不同的要求，让每个学生多清楚地知道这节课自己的任务是什么。

2、本节课拼图验证的方法是以前学生很少接触的，所以在探索过程中很多学生都显得有些吃力。所以教师在讲方法一时，应该先介绍这种证明方法以及思路，让学生模仿第一种方法的'基础上，能轻松地总结出第二种方法，从而产生去探索更多方法的兴趣和动力，有利于学生的数学思维的提升。

3、对学生的人文教育和爱国教育不够。很多学生在探索过程中遇到困难时，选择放弃或等别人的答案。教师此时应该注意引导学生要勇于克服困难，主动进行探索，提高了自身的推理能力和创新精神。同时教师也要不断渗透爱国教育，培养学生的民族自豪感和爱国热情。

在我们的数学教学中，活动课是不可忽视的内容。在这个探索的过程中，学生绝大多数是不会创造或发明什么的，这是一个素质的表现和培养过程。学生得到什么结果是次要的，重要的是使学生的素质和能力得到培养。这是中学数学活动课的价值取向。

文档为doc格式。

论文证明材料范文

兹证明我公司__________先生/女士(出生日期：_____年_____月_____日)，自_____年_____月_____日在我公司工作，现任北京诚智思源物业管理经营有限公司__________职务。

特此证明。

(公司章)。

20xx年x月x日。

论文证明材料范文

事实认定是民事诉讼研究中至关重要的一环，它是民事诉讼的法理研究以及实务裁判中核心的讨论热点。事实认定是裁判实务中，法官对于案件争议的裁判过程。而法官当然并非仅依据个人经验进行事实认定，而是需要借助法律的抽象规定，将之具体化，去抽象化，细节的对应各个案例，得出公允的判断。这其中，对于诉讼双方提出的说法进行认定，归化出裁判认可的法律事实。指导裁判人员做出判断的便是一系列行之有据的证明标准。

而此处的证明标准又是抽象的规定，需要人为的操作化，将之转化为实践中可行的判断规则需要动用裁判人员的理解力进行操作。如何正确的理解与转化成为了实务中的重要问题。这决定着案件中事实的正确认定，关系着当事人双方利益的维护。

一、证明标准的概念。

“证明标准”即为在诉讼中法官对于认定案件事实，当事人提供证据所要达到的证明程度。一个确定的证明标准所限制的便是，当当事人一方提供之标准达到了规定之程度，即为证明。法官应当认定这一事实，反之，则待证事实仍然存疑，又可化分为未证实或证伪的情况。

在英美法系国家，学理上的证明标准被理解为负有承担证明和提供证据责任的一方当事人，对其主张的事实予以证明应达到的水平、程度或量（level、degreeorquantum）。所谓证明标准，是指为了避免遭到于己不利的裁判，负有证明责任的当事人履行其责任必须达到法律所要求的程度。也有学者认为，“证明标准”是负担证明责任的人提供证据对案件事实加以证明所达到的程度。

二、证明的任务。

在民事诉讼中，我们应当实行什么样的.证明标准，是由民事诉讼证明的任务来推动的。那么它的任务究竟为何？学界存在着性质截然不同的两种看法，一是客观真实；二是法律真实。

通过对刑事诉讼法以及行政诉讼法的研究，再结合我国民事诉讼法律法规的规定，有学者得出了“概括而言，证明标准之规定存在于我国三大诉讼法中，且他们是完全一致的：案件事实清楚，证据确实充分”。这一规定，虽然简短，但是对证据对应该达到的证明程度提出了质于量的要求。具体而言，它要求：

（一）定案的证据需要全部查证却符合事实；

（二）所有案件事实都有能够证明的事实证据；

（四）依据证据推导出的事实，必须是唯一的，其它情况不可排除或已排除。

三、我国民事诉讼的证明标准的选择与确定。

基于三大诉讼对证据标准的规定，理论界一般认为，我国三大诉讼法对案件的证明标准是一元制证明标准，都是要达到“案件事实清楚，证据确实充分”的程序，尽管也有学者对此结论提出异议。对此，许多学者提出质疑，认为我国应该实行二元制甚至多元制的证明标准。

依据我国《证据规定》第73规定的“因证据证明力无法判断导致争议的事实难以认定的，人们法院应该依据举证责任分配的规则作出裁判。”

这一条该条规定采取了“明显大于”的表述，并未细致的表述裁判人员该如何判定作何依据等等。它的规定是我国民事诉讼裁判领域证明标准的确定。即“高度盖然性”的证明标准。它对于事实裁判存在一定的障碍，即法官究竟依何做出裁判，这高度盖然性的表述，催生出又一讨论问题。即自由心证在我国的确定，即它该如何操作的事实问题。

四、证明标准与自由心证。

自由心证（内心确信制度）是指法官依据法律规定，通过内心的良知、理性等对证据的取舍和证明力进行判断，并最终形成确信的制度。民事诉讼上的内心确信制度其创立与发展有着曲折的过程，但确立至今已被世界大多数国家认可并计入法律。大陆法系与英美法系有着悠久且相异的判断传统。分别为强调裁判人员的绝对心证与强调一定规则规范的心证。但都不约而同的承认发展出了下述现代自由心证规则（我国的民事诉讼法也作出了同质的规定，表现在第73条中：法官具有其他人无权随意干涉的自由判断证据的职权；法官的自由裁量证据的行为受到证据规则的约束；法官必须在裁判文书中表明心证形成的过程。

五、承认与完善自由心证。

（一）制定严密、科学的证据规则。

我国长期以来由于证据规则的缺乏，造成法院查证范围过宽，期限过长，效率低下。规定一系列证据规则，有利于法官在审理案件中直接依据双方提出的证据做出结论，以避免法官不必要的查证活动，限制法官过分的自由裁判。面对现实中，国家不承认心证规则，但法律裁判又不得不使用导致的法官滥用的现象。不如用规范细致的心证规则加以规制，如此一来，顺应发展趋势与潮流，用好裁判中不可或缺的证据规则。

（二）改善立法指导思想，提高立法技术，尽可能地降低立法抽象性。

我国一贯采用粗线条立法已经使一些新生的民事经济关系无法找到明确的法律规范相对应，从而形成事实上的“无法可依”，即使有原则条款，也会因其过于原则、抽象、非经解释就无法适用而给执法人员随意解释预留空间。

（三）确立人们法院判决公开化。

除了确立裁判文书必须详细说明判决理由的要求，从根本上提高裁判文书的质量，通过心证公开保证心证公正。还应当实现判决书的公开，及不仅要做到公开认证的过程，还有公开认证的理由与理论。

教学论文宣读证明

自己教历史有六年时间，和老教师相比自己的教学水平业务能力还很稚嫩，现将自己在教学中的一些心得如下，和各位同行共勉。主要从课堂教学，复习方法，和作业辅导三个方面来说：

一、课堂教学是灵魂。

课堂是教学的主阵地，是取得良好的教学的关键。我认为课堂上取得良好效果的关键在于采用多种方法，活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣。这就需要在备课时选取与学生生活有关系的或是他们感兴趣材料，以材料为主线来完成课堂教学，避免单纯的说教。这样激发了学生们的参与意识，使他们积极地发表自已的见解、看法，使他们有话想说，有话可说、乐于表现自我。在我看来，下面的方法都有助于激发学生兴趣：

1、把握知识结合点，激发学生兴趣。

知识结合点是不同知识之间的有机结合，它反映的客观世界事物之间的相互联系、相互转化。学生往往对于各种事实和现象之间的那些结合点比较感兴趣，能否正确把握知识结合点，是抓住学生的兴趣的根本。因此，在备课的时候要努力思考和理解那些结合点。这样才能在教学过程中取得某种新颖的、出人意料的效果。只有教师在教学中恰当、准确地把握了各种知识的结合点，才能激发学生的学习兴趣，提高教学的效果。

2、设疑、解疑激发兴趣。

学起于思，思源于疑。疑问是思维的火种，思维以疑问为起点，有疑问才有思维，经过思维才能解疑，有所进取。教育家朱熹说：读书无疑者需有疑，有疑者却要无疑，到这里方是长进。在教学过程中通过设疑、释疑、解惑，可极大地引发学生兴趣，使学生处于一种心愤愤，口悱悱的状态，促使他们积极思考。当他们苦于山穷水尽疑无路时，教师给予解惑，他们就能收到柳暗花明又一村的效果。在教学过程中，通过设问，一问一答，使学生很快进入了角色，引起兴趣，明白了道理，提高了思想觉悟，这比平铺直叙讲理论更有峰回路转之效。

3、以生动形象的比喻激发兴趣。

历史教学往往理论强，比较抽象，但这不能和枯燥无味划等号。如果我们在注意理论性、科学性的同时，能讲究一点趣味性，把阐述理论同形象化叙述融为一体，就可以使理论增添感情的色彩，从而激发学生的学习兴趣。尤其在讲授中运用生动形象的比喻，可以起到由此及彼、触类旁通、以少胜多的效果。比喻恰当，不仅能激发学生兴趣，而且能加深学生理解，加深印象，从而有利知识的巩固。这样，会使深奥的道理浅显化了，取譬贴切，印象深刻。这比泛泛地讲，效果要好的多。

4、运用课本知识和社会热点知识激发兴趣。

知识就是力量。针对中学生求知欲强的特点，在讲课时尽量运用现成的教材满足学生的要求，并适时的引入社会热点知识。一些教师在备课时总是千方百计地搜寻教材以外的材料，不善于就地取材，利用教材现成的材料。孰不知，教材上的材料都是经过精心挑选，具有较高典型性。因此，教师必须重视这些现成材料，充分发挥他们的作用。现成的东西似乎没有新意，难以引起学生的兴趣，但只要教师认真备课，善于吸收消化，灵活运用，辅之恰当适量的社会热点，会有事半功倍的效果。

总之，现在的学生涉猎面很广泛，获取信息的途径有很多，如果只单纯的说教已经不能适应学生的胃口，必须想方设法培养学生学习历史的兴趣，除了上面说的方法，教师富有魅力的语言表达，穿越历史的小话剧，人物角色置换的方式都能够让学生茅塞顿开，趣味无穷。

二、复习课是补充。

临阵磨枪不能当成学生应付考试的法宝，如何在非常有限的时间里发挥出学生最大的潜能，让学生在各科时间都非常紧张的情况下提高复习效率这就看教师的本事了。

我把一节课45分钟分割成几部分，教师总结归纳5分钟，背记知识点15分钟，习题训练15分钟，批改讲评10分钟。这样一节课下来学生既要动口动手动脑还要交流探讨，时间安排的非常紧凑，知识点听教师串讲一遍，背记一遍，练习一遍，同桌批改一遍，纠错一遍，通过各种方式在学生脑袋里已经过了四五遍，印象很深刻。

在学生练习题选择上我偏重于拔高训练，所选的习题都是各省市中考的知识点，难度要高一些，学生在训练中提高了应试能力。

还有就是课堂上的小调剂，天气热了学生困了讲个笑话，男女生比赛背记，过火车回答问题等等，都能使学生在枯燥疲惫的学习中提高兴趣。

作业辅导。

学生作业主要以练习册为主，题量有些大，删掉了一些。设计的一些作业主要放在课堂上完成，例如评价人物的小论文，知识点脉络图，设计表格等，小组内探讨解决然后写在书上备用。

以上就是我的一点心得，在今后教学中还需要和大家多交流多沟通，共同进步共同提高。

勾股定理的研究性论文

：勾股定理又名商高定理，也名毕达哥拉斯定理。从两千多年前至今都有人在研究，其证明方法多达500种，并且在实际生活中有广泛应用。在中学阶段，勾股定理是几何部分最重要的定理之一，不仅是教学的重点、难点、考点，而且也是几何学习的基础，除此之外，还可以激发学生学习兴趣，开拓学生知识面，提升学生思维水平。

：勾股定理中学生心理特征证明方法解题思路。

在古代中国，数学着作《周髀算经》开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”这是中国古代对勾股定理的最早记录。在《九章算术》中，“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦．又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即勾．又勾自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股”。毕达哥拉斯参加一次餐会，餐厅铺着正方形大理石地砖，他凝视这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和"数"之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。这是西方对毕达哥拉斯定理最早的描述。

中学阶段的学生正处于发育的第二高峰期，在生理和心理上都有很大的变化，在心理上的普遍特征：1.有意注意发展显着，注意的范围扩大，稳定性和集中性增强；2.记忆力随着年龄的增长而增加，对图片、音频等感性的记忆较好，对公式、定理等纯理论的记忆较差，尤其是数学学科，基础的理论公式很多，学生很容易记混淆；3.抽象思维的能力有提升，处于形式运算阶段，但对事物的思考基本还停留在事物表面，没有完全形成自主有意识的抽象思维倾向；4.自制力有所提升，他们开始喜欢崇拜有意志力、自控力的人，但是自身的自制力比较薄弱。虽然我并不赞成把学生分为优等生、中等生和差等生，但是在实际的教育中，是存在这样的分化，并且学生都存在上述的四个普遍特征，也存在一些差异：学习能力、思维方式、自制力等不同。优等生在各个方面普遍比中等生好，而中等生又普遍比差等生好，我们应该从这些差异点着手，因材施教，激发学习兴趣，提升学习能力，引导自主学习，减少学生之间的'差异，使学生健康成长，实现自我价值。

勾股定理是全人类文明的一个象征，也是平面几何学的一颗明珠，在实际生活中也有广泛应用。两千年以来，人们从来没有停止对勾股定理的研究。据不完全统计，勾股定理的证明方法多达500种，每一种方法都有优点，每一种方法都包含全人类的智慧。但在中学教学中，我们不可能做到面面俱到，只能教给学生一些典型、基础的证明方法，通过教学引导学生自主学习，自主探索。

说明：第一种证明方法有两个要点：1.几何图形的变化；2.确定等量关系。初中生可以理解这两个要点，因此，我们可以以探究的形式让学生自己做，一来可以提高学生自主学习的兴趣，二来也符合当下的教育理念——探究学习。对于基础较薄弱的学生而言，在掌握基本知识点的同时，可以增加他们学习数学的兴趣，减少对数学的畏惧情绪，对于基础较好的学生而言，他们可以通过这种证明方法，自学勾股定理的基本知识。第二、三种方法分别结合了相似三角形和圆的基础知识点，在教授相似三角形和圆的相关定理时，提出他们在勾股定理证明中的运用。把前后知识点串联起来，差等生可以回顾勾股定理，加深理解，激发他们学习的兴趣，中等生和优等生可以构建不同知识点之间的联系，形成知识体系，提升他们的抽象思维能力，对后继学习有很大帮助。

本题先通过不变量寻找等量关系，再利用勾股定理求解问题。引导基础较差的学生通过折叠寻找图形中的不变量，建立等量关系，提升其处理数学问题的信心，学会一些数学的基本方法和思维方式；引导基础较好的学生复习对称图形的性质，适当提炼解题思路，构建知识体系。

说明：题目本身很简单，由题目容易想到勾股数3、4、5，而忽略分类讨论。我们应引导学生突破惯性思维，不能过于片面、主观，应认真仔细省题。初中生对问题有思考，但思考的深度不够。通过这道题可以告诉学生：突破惯性思维，全面思考问题，不惧怕数学题，使他们愿意主动思考数学题。本题运用到分类讨论思想，这个思想在数学上的运用十分广泛。

勾股定理是中学阶段最重要的定理之一，本文从中学生的心理特征，以及不同层次的学生的不同学习特点、心理特点出发，立足缩小学生间的层次差异、实现学生自我价值的观点，讨论勾股定理在实际教学中的不同证明方法的教法，和一些典型题型的解题思路，以及如何在教课过程中引导不同层次的学生学习，产生数学学习兴趣，构建数学知识体系。

[1]《周髀算经》[m].文物出版社1980年3月.据宋代嘉靖六年本影印.

[2]《九章算术》[m].重庆大学出版社.2006年10月.

初中勾股定理的证明方法

师:我们知道，数学是一门基础学科，它用概念、公式、定理演绎着数学的神奇和魅力，今天我们在一起继续学习一个古老而著名的数学定理。首先请大家欣赏图片（屏显）：这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，在这个会场上到处可以看到一个像旋转的风车一样的图案，这就是左下角——大会的会徽，请大家仔细观察：这个会徽是由哪些图形组成的？生1:三角形和正方形。

师:什么三角形？

生2:直角三角形。

师:这些三角形和正方形分别在什么位置？是怎么摆放的？

生:四个直角三角形围成一个正方形，正方形被它们包围着。

生:（生读）中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着周公与商高的一段对话，周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆的这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形“矩”（即直角）得到的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”必定是5，这个原理在大禹治水的时候就总结出来的呵！”

师:在资料中：商高与周公谈到的是什么三角形？

生:直角三角形。

师:谈到的是直角三角形的什么关系？

生:三边关系。

角形两直角边的长度分别为多少？

生:两直角边的长度都是2。

师:现在我们以三边为边向外做正方形，你能得出三个正方形的面积吗？谁有结果？生1:正方形a的面积等于4。

师:继续！

生2:正方形b的面积等于4，正方形c的面积是8。

师:你是怎样求c的面积的？

生:我把它构造成两个直角三角形。

师:好！你上前边来给大家讲一讲！

生:（生上台讲解）将正方形c沿着中间那条对角线分开，得到两个直角三角形。他们的底边是4，高分别都是2，然后用面积进行计算。

师:很好！请回！这种计算面积的方法是用的割，还是补？

生:(齐)割。

教学论文宣读证明

1、在科学研究和日常生活中，常常用到合情推理探索、方法、寻求思路，发现规律，得到猜想、所以在数学、科学、经济和社会的历史发展中，合情推理有非常重要的价值，它是科学发现和创造的基础。

2、数学结论和数学证明思路的发现过程等主要靠合情推理即观察、试验、归纳、猜想等。因此，从数学发现过程以及数学研究方法的角度看，数学与自然科学一样，又是归纳的科学、但是数学归纳是否正确，有其严格、确切的要求，即已归纳出来的结论是否正确要以能否逻辑证明为依据。

3、对于数学命题，需要通过演绎推理严格证明、演绎推理是根据已知的事实和正确的结论、按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

4、掌握推理与证明的基本方法，有利于提高学生思维能力，形成对数学较为完整的认识。

5、数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎过程。

目标分析。

1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理子啊数学发现中的作用，培养学生“发现—猜想—证明”的合情推理能力。

2、体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能用运用它们进行一些简单的推理。

3、了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

4、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点。

5、了解间接证明的一种基本方法—反证法；了解反证法的思考过程与特点。

6、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

课时安排。

归纳与类比两个课时。

综合法与分析法两个课时。

反证法一个课时。

数学归纳法两个课时。

小结与复习一个课时。

重难点分析。

重点：能利用归纳和类比等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本方法，并能用运用它们进行一些简单的推理；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：分析法与综合法的思考过程；反证法的思考过程；数学归纳法的原理。

1、通过对具体实例的推理过程的分析、体会，概括出合情推理的描述性定义、

2、归纳、演绎等推理方式，学生在以往的学习中已经接触，类比推理相对而言学生较为陌生、初学时常出现以下问题：

一是找不到类比的对象；

二是有了类比对象，却发现不了两类事物间的相似性或一致性。

通过类比，可以拓展学生的数学能力，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。

3、教学中可以要求同学用类比思想对前期模块中的教学内容进行梳理、在梳理的基础上类比发掘，这样有助于影响学生的学习方式，提高学生的创新精神。

4、在教学时，要把分析法与综合法的特点和它们之间的相互关系解释清楚，帮助学生理解。

5、教学时，要让学生明白反证法的适用情和使用的逻辑规则，特别要明确应用逆向思维，推出与已知条件或假设或定义、定理、公理、事实等矛盾是反证法思考过程的特点。

6、在数学归纳法的教学中，教师可先回顾学过的归纳法，举出一个不完全归纳的例子，再举用枚举法完全归纳的`例子，得出不完全归纳有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确；完全归纳，结论可靠，但一一核对困难、从而需要一种科学的方法解决与正整数相关的数学问题。

7、教科书中例2展示了归纳和数学归纳法的区别、教师应借助此例让学生了解数学归纳法的原理，特别应注意引导学生通过归纳推理发现结论，然后再用数学归纳法证明其正确性。

8、小结时回应多米诺骨牌，设想推多米诺骨牌的多种可能情况，来解释数学归纳法的各步骤的必要性。

评价建议。

注重评价学生在合情推理学习中表现出来的积极思考、用于探究的行为，培养学生的创新精神。

注重评价学生在参与与数学学习和与同伴进行交流合作的过程中，表现出来的独立性、合作性；关注学生交流中思维参与的深度与广度。

注重评价学生在数学学习中不断反思的能力。

教师可以适当引入数学探究性课题学习，关注学生在学习过程中的体验和评价。

关注学生在探究学习过程中的感受和体验。

教学论文宣读证明

细雨湿衣看不见，闲花落地听无声。

阅完卷，我陷入沉思，难道这样的问题，答案不应该是“百花齐放，百家争鸣”吗？为什么却成了标准统一化的答案了呢？不由得回顾起了课堂中的一幕。

《青春的证明》这一课是以采访身边人的梦想为切入点，学生讨论要想实现梦想你需要具备哪些优秀品质？从古至今，从国内到国外，从伟人到偶像举例层出不穷，总结出的品质更是种类繁多。“作为刚刚站在青春起跑线上的我们，要想追逐梦想，你最需要什么品质呢？”我问，“自信、自立、自强、坚持不懈”，生答，看似教学目标，重难点在引导中，并突破了，是这样的吗？我又一次对自己课堂目标的完成提出质疑，学生体验到什么是自立，自强了吗？他们明白生活中自立自强吗？如果问题中再出现“请你分享生活中自立自强的例子”学生是不是又会写上“自己穿衣服，自己做饭，自己上学”这种与年龄不相符的答案呢？是呀，我的课堂并没有给他们体验和实践的机会呀，实践能力的提升缺失了！

有时就是这样，总是把课堂设计成自己预想的那样，自己可以控制的那样，其实就是限制了学生亲自体验与实践，准备一个生活中或学习中的困境抛给学生，没有固定的结局或答案，让学生亲自上阵解决问题，也许他们努力了尽心了但失败了；也许通过他人帮助和集体力量成功了。但那都是真实的体验，都能真正体会到有责任，敢担当，不怕困难，挑战自我的过程就是在不断走向自立自强。

一道简单的举例题，让我反复的思考着教学。

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